Kali ini akan dibahas tentang Menyelesaikan Masalah yang Berkaitan dengan Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel (SPLTV). Secara garis besar untuk mengubah permasalahan sehari-hari menjadi SPLTV dilakukan dengan langkah-langkah berikut.

1. Melakukan Permisalan atau Memilih Variabel

    Variabel akan dipilih sebagai wakil dari nilai-nilai yang akan dicari. Variabel yang dipilih misalnya x, y, dan z. Akan tetapi dapat pula memilih variabel lain p, q, dan r atau a, b, dan c. Variabel tersebut harus tepat mewakili permasalahan yang ada.

2. Membuat Model Matematika

   Model matematika yang dimaksud berbentuk SPLTV dan menggunakan variabel-variabel yang telah dipilih pada langkah 1.

3. Menyelesaikan dan Menafsirkan Penyelesaian SPLTV

  SPLTV diselesaikan sehingga diperoleh nilai setiap variabel. Selanjutnya, nilai setiap variabel dicocokkan dengan nilai yang diwakilinya. Dengan demikian, nilai-nilai yang dicari dari permasalahan nyata telah ditemukan.

Perhatikan contoh berikut.

   Harga 3 buku tulis, 2 pensil, dan 3 bolpoin adalah Rp15.700,00. Harga 2 buku tulis dan 3 pensil adalah Rp9.200,00. Harga 4 pensil dan 3 bolpoin adalah Rp11.000,00. Jika Isti membeli 2 buku tulis, 1 pensil, dan 1 bolpoin, berapa banyak uang yang harus dibayar Isti?

Langkah 1 : Lakukan Permisalan

Misalkan :

Harga 1 buku tulis = x

Harga 1 pensil       = y

Harga 1 bolpoin    = z

Langkah 2 : Membuat Model Matematika

a. Harga 3 buku tulis, 2 pensil, dan 3 bolpoin adalah Rp15.700,00. Sehingga diperoleh persamaan :

    3x + 2y + 3z = 15.700    ...(1)

b. Harga 2 buku tulis dan 3 pensil adalah Rp9.200,00. Sehingga diperoleh persamaan :

    2x + 3y = 9.200    ...(2)

c. Harga 4 pensil dan 3 bolpoin adalah Rp11.000,00. Sehingga diperoleh persamaan :

    4y + 3z = 11.000    ...(3)

    Disimpulkan bahwa SPLTV dari masalah tersebut sebagai berikut.

    3x + 2y + 3z = 15.700     ...(1)

    2x + 3y = 9.200                ...(2)

    4y + 3z = 11.000              ...(3)

Langkah 3 : Menyelesaikan SPLTV dan Menafsirkan Penyelesaian SPLTV

    Eliminasi x dari persamaan (1) dan (2).

    3x + 2y + 3z = 15.700        | x2 |        6x + 4y + 6z = 31.400

    2x + 3y = 9.200                  | x3 |        6x + 9y = 27.600        _

                                                                      -5y + 6z = 3.800        ...(4)

    Eliminasi z dari persamaan (3) dan (4).

    4y + 3z = 11.000                | x2 |        8y + 6z = 22.000

    -5y + 6z = 3.800                | x1 |        -5y + 6z = 3.800  _

                                                               13y = 18.200

                                                                  y  = 18.200 : 13

                                                                  y  = 1.400

    Substitusi y ke persamaan (2).

    2x + 3y = 9.200        ...(2)

    2x + 3 (1.400) = 9.200

    2x + 4.200 = 9.200

    2x = 9.200 - 4.200

    2x = 5.000

     x  = 5.000 : 2

     x  = 2.500

    Substitusi y ke persamaan (3).

    4y + 3z = 11.000        ...(3)

    4 (1.400) + 3z = 11.000

    5.600 + 3z = 11.000

                 3z = 11.000 - 5.600

                 3z = 5.400

                  z  = 5.400 : 3

                  z  = 1.800

    Ingat kembali bahwa x = harga 1 buku tulis, y = harga 1 pensil, dan z = harga 1 bolpoin. Sehingga harga dari 2 buku tulis, 1 pensil, dan 1 bolpoin adalah :

2x + y + z = 2 (2.500) + 1.400 + 1.800

                 = 5.000 + 1.400 + 1.800

                 = 8.200

    Jadi, harga dari 2 buku tulis, 1 pensil, dan 1 bolpoin adalah sebesar Rp8.200,00.

Sekian pembahasan tentang Menyelesaikan Masalah SPLTV kali ini, semoga bermanfaat dan dapat menambah wawasan teman-teman sekalian.

Continue reading

Share:

1. Konsep Persamaan Nilai Mutlak

     Persamaan nilai mutlak adalah persamaan yang memuat tanda mutlak dan variabelnya berada dalam tanda nilai mutlak.

Berikut ini beberapa bentuk persamaan nilai mutlak.

a. |x - 2| = 3

b. 2|x| - 6 = 0

c. |x - 2| = |3- x|

d. |2x - 1| = -4x + 3

2. Bentuk Umum Persamaan Nilai Mutlak

     Untuk f(x) dan g(x) fungsi dalam variabel x

|f(x)| = c dengan syarat c > 0

|f(x)| = |g(x)|

|f(x)| = g(x) dengn syarat g(x) > 0

3. Penyelesaian Persamaan Nilai Mutlak

     Penyelesaian persamaan nilai mutlak yang memuat nilai mutlak adalah bilangan-bilangan pengganti dari variabel yang membuat persamaan menjadi pernyataan bernilai benar.

Contoh :

Penyelesaian persamaan |x - 2| = 3 adalah 5 dan -1 karena pernyataan |5 - 2| = 3 bernilai benar dan pernyataan |-1 - 2| = 3 bernilai benar.

4. Menentukan Penyelesaian Persamaan Nilai Mutlak

• Menggunakan Definisi Nilai Mutlak sebagai Jarak

     Persamaan nilai mutlak dapat diselesaikan menggunakan definisi nilai mutlak sebagai jarak.

|3| = |3 - 0| = jarak bilangan 3 dari 0 = 3

|10| = |10 - 0| = jarak bilangan 10 dari 0 = 10

|-4| = |-4 - 0| = jarak bilangan -4 dari 0 = 4

     Menggunakan analogi yang sama diperoleh:

|3 - 2| = jarak bilangan 3 dari 2 = 1

|10 - 2| = jarak bilangan 10 dari 2 = 8

|x - 2| = jarak bilangan x dari 2

|2 - x| = |-(x - 2)| = |x - 2| = jarak bilangan x dari 2

Persamaan |x - 2| = 3 dapat diterjemahkan menjadi jarak bilangan x dari 2 adalah 3.

     Jarak bilangan -1 dari 2 adalah 3 dan jarak bilangan 5 dari 2 adalah 3.

|x - 2| = 3 <=> x = -1 atau x = 5

     Jadi, penyelesaian |x - 2| = 3 adalah x = -1 atau x = 5.

Continue reading

Share:

1. Konsep Pertidaksamaan Nilai Mutlak

    Misalkan | x | adalah nilai mutlak x dan a suatu bilangan real.

a. Jika | x | < a maka -a < x < a.

b. Jika | x | > a maka x < -a atau x > a.

    Konsep nilai mutlak x tersebut dapat diperluas pada fungsi nilai mutlak.

    Misalkan f(x) suatu fungsi dalam variabel x maka berlaku fungsi nilai mutlak |f(x)| sebagai berikut.

a. Jika |f(x)| < a maka -a < f(x) < a.

b. Jika |f(x)| > a maka f(x) < -a atau f(x) > a.

    Berikut ini beberapa bentuk pertidaksamaan nilai mutlak.

a. |x - 1| < 2

b. |x - 1| > 3

c. |x² - x - 2| ≥ 4

d. |x - 3| > |2x - 5|

2. Bentuk Umum Pertidaksamaan Nilai Mutlak

    |f(x)| > c

    |f(x)| > c

    |f(x)| < c

    |f(x)| < c

    Dengan c bilangan real dan f(x) merupakan fungsi dalam vaiabel x.

3. Penyelesaian Pertidaksamaan Nilai Mutlak

    Penyelesaian pertidaksamaan nilai mutlak adalah bilangan-bilangan pengganti dari variabel yang membuat pertidaksamaan menjadi pernyataan bernilai benar.

Contoh :

    Penyelesaian |x-1| < 2 adalah -1 < x < 3 karena nilai-nilai x pada interval -1 < x < 3 membuat pertidaksamaan menjadi pernyataan bernilai benar.

Untuk x = -1 diperoleh |-1 - 1| < 2 <=> 2 < 2 (benar).

Untuk x = 0 diperoleh |0 - 1| < 2 <=> 1 < 2 (benar).

Untuk x = 1 diperoleh |1 -1 | < 2 <=> 0 < 2 (benar.

dan seterusnya.

    Penyelesaian |x - 1| < 2 di antaranya adalah x = -1, x = 0, x = 1.

4. Menentukan Penyelesaian Pertidaksamaan Nilai Mutlak

• Menggunakan Definisi Nilai Mutlak sebagai Jarak

    Pertidaksamaan |x - 2| < 3 dapat diterjemahkan menjadi jarak bilangan x dari 2 kurang dari 3. Bilangan x yang memenuhi |x - 2| < 3 terletak pada interval -1 < x < 5. 

Bilangan-bilangan yang berjarak kurang dari atau sama dengan 3 satuan dari 2 terletak pada interval -1 < x < 5.

Jadi, penyelesaian |x - 2| < 3 adalah -1 < x < 5.

• Menggunakan Definisi Nilai Mutlak

Pertidaksamaan nilai mutlak |ax + b| < c.

Ingat definisi nilai mutlak.

Jika |f(x)| < a maka -a < f(x) < a.

Dari definisi dapat diperoleh hubungan sebagai  berikut.

|ax + b| < c <=> -c  < ax + b < c.

Contoh :

    Pertidaksamaan |x - 2| < 3.

=> -3 < x - 2 < 3

=> -3 + 2 < x - 2 + 2 < 3 + 2

=> -1 < x < 5

    Jadi, penyelesaian |x - 2| < 3 adalah -1 < x < 5.

Continue reading

Share: