Pertidaksamaan Nilai Mutlak

1. Konsep Pertidaksamaan Nilai Mutlak

    Misalkan | x | adalah nilai mutlak x dan a suatu bilangan real.

a. Jika | x | < a maka -a < x < a.

b. Jika | x | > a maka x < -a atau x > a.

    Konsep nilai mutlak x tersebut dapat diperluas pada fungsi nilai mutlak.

    Misalkan f(x) suatu fungsi dalam variabel x maka berlaku fungsi nilai mutlak |f(x)| sebagai berikut.

a. Jika |f(x)| < a maka -a < f(x) < a.

b. Jika |f(x)| > a maka f(x) < -a atau f(x) > a.

    Berikut ini beberapa bentuk pertidaksamaan nilai mutlak.

a. |x - 1| < 2

b. |x - 1| > 3

c. |x² - x - 2| ≥ 4

d. |x - 3| > |2x - 5|

2. Bentuk Umum Pertidaksamaan Nilai Mutlak

    |f(x)| > c

    |f(x)| > c

    |f(x)| < c

    |f(x)| < c

    Dengan c bilangan real dan f(x) merupakan fungsi dalam vaiabel x.

3. Penyelesaian Pertidaksamaan Nilai Mutlak

    Penyelesaian pertidaksamaan nilai mutlak adalah bilangan-bilangan pengganti dari variabel yang membuat pertidaksamaan menjadi pernyataan bernilai benar.

Contoh :

    Penyelesaian |x-1| < 2 adalah -1 < x < 3 karena nilai-nilai x pada interval -1 < x < 3 membuat pertidaksamaan menjadi pernyataan bernilai benar.

Untuk x = -1 diperoleh |-1 - 1| < 2 <=> 2 < 2 (benar).

Untuk x = 0 diperoleh |0 - 1| < 2 <=> 1 < 2 (benar).

Untuk x = 1 diperoleh |1 -1 | < 2 <=> 0 < 2 (benar.

dan seterusnya.

    Penyelesaian |x - 1| < 2 di antaranya adalah x = -1, x = 0, x = 1.

4. Menentukan Penyelesaian Pertidaksamaan Nilai Mutlak

• Menggunakan Definisi Nilai Mutlak sebagai Jarak

    Pertidaksamaan |x - 2| < 3 dapat diterjemahkan menjadi jarak bilangan x dari 2 kurang dari 3. Bilangan x yang memenuhi |x - 2| < 3 terletak pada interval -1 < x < 5. 

Bilangan-bilangan yang berjarak kurang dari atau sama dengan 3 satuan dari 2 terletak pada interval -1 < x < 5.

Jadi, penyelesaian |x - 2| < 3 adalah -1 < x < 5.

• Menggunakan Definisi Nilai Mutlak

Pertidaksamaan nilai mutlak |ax + b| < c.

Ingat definisi nilai mutlak.

Jika |f(x)| < a maka -a < f(x) < a.

Dari definisi dapat diperoleh hubungan sebagai  berikut.

|ax + b| < c <=> -c  < ax + b < c.

Contoh :

    Pertidaksamaan |x - 2| < 3.

=> -3 < x - 2 < 3

=> -3 + 2 < x - 2 + 2 < 3 + 2

=> -1 < x < 5

    Jadi, penyelesaian |x - 2| < 3 adalah -1 < x < 5.